Question

在直角坐標(biāo)系XOY中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（5，0），B（0，4），C（-1，0）．點(diǎn)M和點(diǎn)N在x軸上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），點(diǎn)N在原點(diǎn)的右邊，作MP⊥BN，垂足為P（點(diǎn)P在線段BN上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），直線MP與y軸相交于點(diǎn)G，MG=BN．
（1）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)ON=t，△MOG的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（4）過點(diǎn)B作直線BK平行于x軸，在直線BK上是否存在點(diǎn)R，使△ORA為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)所求拋物線的表達(dá)式為：y=ax²+bx+c（a≠0）
由題意，得
解得
所以所求的表達(dá)式為y=-x²+x+4；

（2）依題意，分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)的左邊（如圖1）時(shí)，
在Rt△BON中，∠1+∠3=90°
因?yàn)镸P⊥PN，所以∠2+∠3=90°，
所以∠1=∠2
在Rt△BON和Rt△MOG中，
所以Rt△BON≌Rt△MOG
所以O(shè)M=OB=4．所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0）；
②當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)的右邊（如圖2）時(shí)，同理可證OM=OB=4．此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．

（3）圖1中，Rt△BON≌Rt△MOG，所以O(shè)G=ON=t．
所以S=OM•OG=•4•t=2t（其中0＜t＜4）．
圖2中，同理可得S=2t，其中t＞4．
所以所求的函數(shù)關(guān)系式為S=2t，
t的取值范圍為t＞0且t≠4；

（4）存在點(diǎn)R，使△ORA為等腰三角形，
其坐標(biāo)為：R₁（-3，4），R₂（3，4），R₃（2，4），R₄（，4），R₅（8，4）．
分析：（1）已知了A、B、C的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）由于M點(diǎn)的位置不確定，因此可分兩種情況：
①M(fèi)在x軸負(fù)半軸，可通過證△BON≌△MOG，得出OM=OB，據(jù)此可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
②M在x軸正半軸，同①；
（3）根據(jù)②的全等三角形可得出ON=OG=t，而OM=4，可根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）存在5個(gè)符合條件的R點(diǎn)，如圖：

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等、等腰三角形的構(gòu)成等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．