Question

（2013•來(lái)賓）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點(diǎn)．
（1）請(qǐng)用全等符號(hào)表示出圖中所有的全等三角形（不得添加輔助線），并選其中一對(duì)加以證明；
（2）求證：四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

分析：（1）由在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點(diǎn)，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，利用SAS可判定△AEH≌△DGH，同理可得證得△BEF≌△CGF；
（2）首先連接AC，BD，由三角形的中位線的性質(zhì)，可得EH=FG=

1

2

BD，GH=EF=

1

2

AC，繼而可得EH=GH=GF=EF，則可證得四邊形EFGH是菱形．

解答：證明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A=∠D，AB=CD，
∵E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點(diǎn)，
∴AH=DH，AE=DG，
在△AEH和△DGH中，

AH=DH ∠A=∠D AE=DG

，
∴△AEH≌△DGH（SAS），
同理可得：△BEF≌△CGF．
∴圖中所有的全等三角形有：△AEH≌△DGH，△BEF≌△CGF；

（2）連接AC，BD，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點(diǎn)，
∴EH=FG=

1

2

BD，GH=EF=

1

2

AC，
∴EH=GH=GF=EF，
∴四邊形EFGH是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．