Question

（2003•昆明）已知：如圖，點O的坐標為（0，0），點A的坐標為（4，0），點P在第一象限，且cos∠OPA=．
（1）求出點P的坐標（一個即可）；
（2）當點P的坐標是多少時，△OPA的面積最大，并求出△OPA面積的最大值（不要求證明）；
（3）當△OPA的面積最大時，求過O、P、A三點的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）可作直角三角形OP₁A，且以∠P₁AO為直角，∠P₁OA=30°，那么此時P₁就是符合條件的一個P點，那么根據OA的長，和∠P₁OA的度數來求出P₁點的坐標．
（2）由題意不難得出，P點的集合應該是以OP₁為直徑的優(yōu)弧OA，如果△POA的面積最大，那么P點必為優(yōu)弧OA的中點，此時△POA為等邊三角形，據此可求出△OPA的最大面積．
（3）過P作PH⊥OA，那么可在直角三角形OMH中，先求出HM的長，進而可求出P點的坐標，然后根據O，P，A三點坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．
解答：解：（1）如圖，作Rt△OP₁A，使∠P₁AO=90°，∠P₁OA=30°，則∠OP₁A=60°，
即點P₁為所求的點，
這時，P₁A=OA•tan30°=4×=4
∴點P₁的坐標為（4，4）
或作等邊△OPA，則∠OPA=60°
這時，點P的坐標為（2，6）．

（2）點P在第一象限且在以OP₁為直徑，以OA為弦的優(yōu)弧上，
當PO=PA時，△OPA的面積最大，
過P作PH⊥x軸于H，則點P的坐標為（2，6），
這時，S_△OPA=|OA|•|PH|=×4×6=12．

（3）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過點O（0，0），A（4，0）P（2，6），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x，
附表點P的坐標還可以為：設P（x，y）．

x	4	2	3		…
y	4	6	2+	2+	…

點評：本題考查二次函數解析式的確定、圖形的面積求法等知識；
（2）（3）中結合圓的知識來確定出△POA面積最大時P點的位置是解題的關鍵．