Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于D、E，且⊙O與直線BD剛好相切．
（1）試證：∠CBD=∠A；
（2）若cosA=，BD=2，試計(jì)算⊙O的面積．

Answer 1

解：（1）證明：連OD，如圖，
∴∠A=∠ADO，
∵直線BD與⊙O相切，
∴OD⊥BD，
∴∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠BDC=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠ADO，
∴∠CBD=∠A；
（2）連DE，cosA=cos∠CBD=，
在Rt△DCB，cosA=，BD=2，
∴cos∠CBD=，
∴BC=×2=4，
∴DC==2，
∵AE為直徑，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ABC中，設(shè)⊙O的半徑為r，
∴cosA==，
∴AD=2r•=r，
∴DE=r，
∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AC，即r：4=r：（r+2），
∴r=，
∴⊙O的面積=π•（）²=π．
分析：（1）連OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥BD，則∠ADO+∠BDC=90°，而∠CBD+∠CDB=90°，∠A=∠ADO，易得∠CBD=∠A；
（2）連DE，在Rt△DCB，由cosA=，BD=2，根據(jù)三角函數(shù)的定義得BC=×2=4，再利用勾股定理得DC=2，在Rt△ABC中，設(shè)⊙O的半徑為r，得AD=2r•，DE=r，根據(jù)DE∥BC得DE：BC=AD：AC，得到關(guān)于r的方程r：4=r：（r+2），解方程求出r，然后根據(jù)圓的面積公式計(jì)算即可．
點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理得推理以及三角形相似的判定與性質(zhì)．