Question

如圖，菱形ABCD中，∠A=110°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點，EG⊥CD于點G，則∠FGC=

 

．

Answer 1

分析：延長GF交AB的延長線于點P．根據(jù)已知可得∠EBF，∠BEF，∠BFE的度數(shù)，再根據(jù)余角的性質可得到∠EGF的度數(shù)，從而不難求得∠FGC的度數(shù)．

解答：解：延長GF，交AB的延長線于點P．
∵F為BC的中點，
∴BF=CF，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB∥DC，
∴∠PBF=∠GCF，∠BFP=∠CFG，
在△BPF與△CGF中，

∠PBF=∠GCF BF=CF ∠BFP=∠CFG

，
∴△BPF≌△CGF，
∴GF=PF，
∴F為PG中點．
又∵由題可知，∠BEG=90°，
∴EF=

1

2

PG，
∵GF=

1

2

PG，
∴EF=GF，
∴∠FEG=∠EGF，
∵∠BEG=∠EGC=90°，
∴∠BEG-∠FEG=∠EGC-∠EGF，即∠BEF=∠FGC，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠A=70°，
∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=

1

2

（180°-70°）=55°，
∴∠FGC=55°．
故答案為55°．

點評：本題主要考查了菱形的性質和全等三角形的判定等知識點，靈活應用菱形的性質是解決問題的關鍵，此題難度一般，作出輔助線也很關鍵．