Question

已知：如圖，M是線段BC的中點，BC=4，分別以MB、MC為邊在線段BC的同側作等邊△BAM、等邊△MCD，連接AD

1.求證：四邊形ABCD是等腰梯形

2.將△MDC繞點M逆時針方向旋轉α(60º<α<120º)，得到△MD´C´，MD´交AB于點E，MC´交AD于點F，連接EF．

①求證：EF∥D´C´；

②△AEF的周長是否存在最小值?如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值.

 

Answer 1

 

1.見解析

2.存在最小值。當ME最小時，即ME⊥AB2+

解析:(1) 等邊△BAM、等邊△MCD

             ∴AB=AM=BM,CD=CM=DM,∠ABM=∠AMB=60º,∠DCM=∠DMC=60º

               M是線段BC的中點

               ∴MB=MC

               ∴AM=DM, ∠AMD=60º

              ∴ ∠DAM=60º

              ∴AD∥BC

                ∠B= ∠C

             ∴ 四邊形ABCD是等腰梯形

          (2) ①∠EMA=α-60º,∠FMD=α-60º

              ∴∠EMA=∠FMD

             ∠BAM=∠ADM,AM=DM

            ∴△AEM≌△DMF

              ∴ME=MF

              MD´= MC´

              ∴EF∥D´C´

          ②存在最小值。當ME最小時，即ME⊥AB，周長=1+1+=2+