Question

如圖，在Rt△ABC中,AC=AB，∠BAC=90°，點O是BC的中點，連結OA.

（1）如圖1，已知BC=6,則OA=_________.

（2）如圖2，若點M,N分別在線段AB,AC上移動，在移動中始終保持AN=BM，則△OAN≌△OBM成立嗎？并說明理由.

（3）如圖3，若點M,N分別在線段BA.AC的延長線上移動，在移動中始終保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，并說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）△OAN≌△OBM

理由如下：∵AC=AB，∠BAC=90°

              ∴∠B=45°

∵點O是BC的中點

∴∠NAO=45°

∴∠B=∠NAO

∵∠BAC=90°，點O是BC的中點

 ∴

            又∵AN=BM，

              ∴△OAN≌△OBM

（3）△OMN是等腰直角三角形

理由如下：∵AC=AB，AN=BM

          ∴NC=MA

          ∵∠BAO=∠ACO=45°

          ∴∠MAO=135°=∠NCO

        又∵AO=CO

          ∴△OAM≌△OCN

          ∴MO=NO, ∠MOA=∠NOC

          ∵AB=AC，點O是BC的中點

          ∴∠AOC=90°

          ∴∠MOA+∠MOC=90°

          ∴∠NOC+∠MOC=90°

              ∴△OMN是等腰直角三角形

【解析】（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

（2）利用SAS判定兩個三角形全等；

（3）通過證明三角形全等可得MO=NO，易得∠NOC+∠MOC=90°，所以三角形OMN是等腰直角三角形。