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5.如圖,在五邊形ABCDE中,已知∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC=2,AE=DE=4,在BC、DE上分別找一點M、N,若要使△AMN的周長最小時,則△AMN的最小周長為47

分析 根據(jù)要使△AMN的周長最小,即利用點的對稱,讓三角形的三邊在同一直線上,作出A關于BC和ED的對稱點A′,A″,即可得出最短路線,再利用勾股定理,求出即可.

解答 解:作A關于BC和ED的對稱點A′,A″,連接A′A″,交BC于M,交ED于N,則A′A″即為△AMN的周長最小值.
作EA延長線的垂線,垂足為H,
∵AB=BC=2,AE=DE=4,
∴AA′=2BA=4,AA″=2AE=8,
則Rt△A′HA中,∵∠EAB=120°,
∴∠HAA′=60°,
∵A′H⊥HA,
∴∠AA′H=30°,
∴AH=12AA′=2,
∴A′H=4222=23,
A″H=2+8=10,
∴A′A″=AH2+A
故答案為:4\sqrt{7}

點評 此題主要考查了平面內最短路線問題求法以及勾股定理的應用,根據(jù)已知得出M,N的位置是解題關鍵.

練習冊系列答案
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