Question

如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點(diǎn)，且AD=AB，DF∥BC，E為BD的中點(diǎn)．若EF⊥AC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為　15　．

Answer 1

考點(diǎn)：

相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理。

分析：

過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC，垂足為G，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC，垂足為H，根據(jù)題意設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x，由DG∥EF，利用平行線分線段成比例求FG，由DF∥BC得△ADF∽△ABC，利用相似比求DF，同時(shí)可得∠DFG=∠C，易證Rt△DFG∽R(shí)t△ACH，利用相似比求x，在Rt△ABH中，用勾股定理求AH，計(jì)算△ABC的面積，由△ADF∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)求△ADF的面積，作差求四邊形DBCF的面積．

解答：

解：如圖，過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC，垂足為G，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC，垂足為H，

∵E為BD的中點(diǎn)，且AD=AB，

∴可設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x，

∵DG⊥AC，EF⊥AC，

∴DG∥EF，=，即=，解得FG=x，

∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，=，即=，

解得DF=4，

又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，

∴Rt△DFG∽R(shí)t△ACH，=，即=，

解得x²=，

在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH===9，

則S_△ABC=×BC×AH=×6×9=27，

又∵△ADF∽△ABC，∴=（）²=，

S_△ADF=×27=12，

∴S_{四邊形DBCF}=S_△ABC﹣S_△ADF=27﹣12=15，

故答案為：15．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線，構(gòu)造相似三角形，利用相似比解題．