【題目】如圖,已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓,過點A作⊙O的切線交OC的延長線于點D,交BC的延長線于點E.
(1)求證:∠DAC=∠DCE;
(2)若AB=2,sin∠D=,求AE的長.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)由切線的性質(zhì)可知∠DAB=90°,由直角所對的圓周為90°可知∠ACB=90°,根據(jù)同角的余角相等可知∠DAC=∠B,然后由等腰三角形的性質(zhì)可知∠B=∠OCB,由對頂角的性質(zhì)可知∠DCE=∠OCB,故此可知∠DAC=∠DCE;
(2)題意可知AO=1,OD=3,DC=2,由勾股定理可知AD=,由∠DAC=∠DCE,∠D=∠D可知△DEC∽△DCA,故此可得到DC2=DEAD,故此可求得DE=,于是可求得AE=.
試題解析:(1)∵AD是圓O的切線,∴∠DAB=90°.
∵AB是圓O的直徑,∴∠ACB=90°.
∵∠DAC+∠CAB=90°,∠CAB+∠ABC=90°,∴∠DAC=∠B.
∵OC=OB,∴∠B=∠OCB.
又∵∠DCE=∠OCB,∴∠DAC=∠DCE.
(2)∵AB=2,∴AO=1.
∵sin∠D=,∴OD=3,DC=2.
在Rt△DAO中,由勾股定理得AD==.
∵∠DAC=∠DCE,∠D=∠D,∴△DEC∽△DCA,∴,即.
解得:DE=,∴AE=AD﹣DE=.
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【題目】如圖,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,過點C作CD⊥AC交AB于點D.
(1)尺規(guī)作圖:過A,D,C三點作⊙O(只要求作出圖形,保留痕跡,不要求寫作法);
(2)求證:BC是過A,D,C三點的圓的切線.
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【題目】某品牌商品,按標(biāo)價九折出售,仍可獲得20%的利潤,若該商品標(biāo)價為28元,則商品的進(jìn)價為( )
A.21元
B.19.8元
C.22.4元
D.25.2元
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【題目】過度包裝既浪費資源又污染環(huán)境,據(jù)測算,如果全國每年減少十分之一的包裝紙用量,那么能減少3120000噸二氧化碳的排放量,把數(shù)據(jù)3120000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.312×104
B.0.312×107
C.3.12×106
D.3.12×107
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【題目】完成下面的證明(在括號中填寫推理理由) 如圖,
已知∠A=∠F,∠C=∠D,求證:BD∥CE.
證明:因為∠A=∠F,
所以AC∥DF(),
所以∠C+∠=180°().
因為∠C=∠D,
所以∠D+∠=180°(),
所以BD∥CE().
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【題目】(1)把下列各式因式分解:
①2m(a-b)-3n(b-a) ② (2a+b)2 -(a+2b)2
⑵計算:
① ( x2y-xy2-y3)(-4xy2) ② (a+2b-3c)(a-2b+3c)
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