Question

已知拋物線與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖1，D為y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且OD=2，以O(shè)D為邊作正方形ODEF.將正方形ODEF

以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向移動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t≤2）.

求：①s與t之間的函數(shù)關(guān)系式； ②在運(yùn)動(dòng)過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個(gè)最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（4）如圖2，點(diǎn)P（1，k）在直線BC上，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在以A、M、

N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x²－2x－3（2）直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x－3（3）① ②當(dāng)t =2秒時(shí)，S有最大值，最大值為（4）存在。M ₁（－，0）M₂（，0），M₃（，0），M₄（，0）

【解析】解：（1）∵ A（－1，0）, ，∴C（0，－3）。

∵拋物線經(jīng)過A（－1，0）,C（0，，3），

∴，解得。

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x²－2x－3。

（2）直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x－3。

（3）當(dāng)正方形ODEF的頂點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到直線BC上時(shí)，設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，－2），

根據(jù)題意得：－2=m－3，∴m=1。

①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S₁=2t；

當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖，

O₁（t，0），D₁（t，－2），

G（t，t－3），H（1，－2），

 ∴GD₁=t－1，HD₁= t－1。

∴S= 

。

∴s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為

②在運(yùn)動(dòng)過程中，s是存在最大值：當(dāng)t =2秒時(shí)，S有最大值，最大值為。

（4）存在。M ₁（－，0）M₂（，0），M₃（，0），M₄（，0）。

（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可根據(jù)A，C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0），即可由待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式。

（3）①分0＜t≤1和1＜t≤2討論即可。

②由于在0＜t≤2上隨t的增大而增大，從而在運(yùn)動(dòng)過程中，s是存在最大值：當(dāng)t =2秒時(shí)，S有最大值，最大值為。

（4）由點(diǎn)P（1，k）在直線BC上，可得k=－2�！郟（1，－2）。

則過點(diǎn)P且平行于x軸的直線N₁N₂和在x軸上方與x軸的距離為2的直線N₃N₄，與y=x²－2x－3的交點(diǎn)N₁、N₂、 N₃、N₄的坐標(biāo)分別為N₁（，－2），N₂（，－2）， N₃（， 2），N₄（， 2）。

則M₁的橫坐標(biāo)為－PN₁加點(diǎn)A的橫坐標(biāo)：－；

M₂的橫坐標(biāo)為PN₂加點(diǎn)A的橫坐標(biāo)：；

M₃的橫坐標(biāo)為N₃的縱坐標(biāo)加N₃的橫坐標(biāo)：；

M₄的橫坐標(biāo)為N₄的縱坐標(biāo)加N₄的的橫坐標(biāo)：。

綜上所述，M ₁（－，0）M₂（，0），M₃（，0），M₄（，0）。