如圖，A是以EF為直徑的半圓上的一點(diǎn)，作AG⊥EF交EF于G，又B為AG上一點(diǎn)，EB的延長(zhǎng)線交半圓于K，
求證：（1）△AEB∽△KEA；（2）AE2=EB•EK．

【答案】分析：（1）要證明兩個(gè)三角形相似，已經(jīng)有一個(gè)公共角，只需根據(jù)等角的余角相等得到∠BAE=∠F，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠F=∠K，即可證明兩個(gè)三角形相似；
（2）根據(jù)（1）中的相似三角形就可證明．
解答：證明：（1）連接AK、AF，
∴∠K=∠F=90°-∠AEF=90°-∠AEG．
∠EAG=90°-∠AEG．
∴∠K=∠EAG∠KEA=∠AEB．
∴△AEB∽△KEA．

（2）由①得△AEB∽△KEA，
∴．
∴AE2=EB•EK．
點(diǎn)評(píng)：本題要求能夠熟練運(yùn)用圓周角定理的推論．掌握相似三角形的性質(zhì)和判定．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，某隧道的截面是由一拋物線和一矩形構(gòu)成，其行車道CD總寬度為8米，隧道為單行線2車道．
（1）以矩形一邊EF所在直線為x軸，經(jīng)過(guò)隧道頂端最高點(diǎn)H且垂直于EF的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求出此拋物線的解析式；
（2）在隧道拱的兩側(cè)距地面3米高處各安裝一盞路燈，在（1）的平面直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示其中一盞路燈的位置；
（3）為了保證行車安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道拱在豎直方向上高度之差至少有0.5米．現(xiàn)有一輛汽車，裝載貨物后，其寬度為4米，車載貨物的頂部與路面的距離為2.5米，該車能否通過(guò)這個(gè)隧道？請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A、B在第一象限內(nèi)．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF交OC于點(diǎn)M，過(guò)M作MN∥AO交折線ABC于點(diǎn)N，連接PN．設(shè)PE=x．△PMN的面積為S．
①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．若存在，求出面積的最大值；
（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．現(xiàn)在開(kāi)始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個(gè)單位的速度沿OC方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止（如圖2）．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為E′D′G′H′；探究：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年浙江省金華四中九年級(jí)畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試模擬數(shù)學(xué)卷（帶解析） 題型：解答題

如圖1，在等腰梯形ABCO中，AB∥CO，E是AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A，B在第一象限內(nèi)．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF交OC于點(diǎn)M，過(guò)M作MN∥AO交折線ABC于點(diǎn)N，連結(jié)PN,設(shè)PE=x.△PMN的面積為S.
①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.若存在，求出面積的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.現(xiàn)在開(kāi)始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個(gè)單位的速度沿OC方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止（如圖2）.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為E′D′G′H′（如圖3）;試探究：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012屆浙江省江山市中考一模數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A、B在第一象限內(nèi)。
（1）  求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）  點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF交OC于點(diǎn)M，過(guò)M作MN∥AO交折線ABC于點(diǎn)N，
連結(jié)PN。設(shè)PE=x.△PMN的面積為S。
① 求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
② △PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。若存在，求出面積的最大值；
（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）。現(xiàn)在開(kāi)始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個(gè)單位的速度沿OC方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止（如圖2）。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為E′D′G′H′;探究：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，等腰梯形ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012屆浙江省九年級(jí)畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試模擬數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

如圖1，在等腰梯形ABCO中，AB∥CO，E是AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A，B在第一象限內(nèi)．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF交OC于點(diǎn)M，過(guò)M作MN∥AO交折線ABC于點(diǎn)N，連結(jié)PN,設(shè)PE=x.△PMN的面積為S.

①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.若存在，求出面積的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.現(xiàn)在開(kāi)始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個(gè)單位的速度沿OC方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止（如圖2）.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為E′D′G′H′（如圖3）;試探究：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.

 

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