Question

已知菱形的邊長為a，一邊與兩條對角線的夾角的差為30°，求菱形的面積及各角的度數(shù)．

Answer 1

分析：如圖，由菱形ABCD，可得AC⊥BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，又由一邊與兩條對角線的夾角的差為30°，即∠DAC=30°，可得OD=

1

2

a，OA=

3

2

a，即可得AC=

3

a，BD=a，所以菱形的面積為

3

2

a²，根據(jù)菱形的對角線平分對角，可得∠DAB=60°，所以可得∠DAB=∠DCB=60°，∠ADC=∠ABC=120°．

解答：解：如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，
∵∠DAC=30°，
∴OD=

1

2

a，OA=

3

2

a，
∴AC=

3

a，BD=a，
∴菱形的面積為

3

2

a²，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DAB=2∠DAC=60°，
∴∠DAB=∠DCB=60°，∠ADC=∠ABC=120°．

點評：此題考查了菱形的性質(zhì)：菱形的對角線互相平分且相等；菱形的對角線平分對角．解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．