Question

四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其邊AB與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AD與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．由Q作該圓的兩條切線QE和QF，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．求證：P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析：連接PQ，并在PQ上取一點(diǎn)M，使得B，C，M，P四點(diǎn)共圓，連CM，PF．設(shè)PF與圓的另一交點(diǎn)為E′，并作QG丄PF，垂足為G．根據(jù)勾股定理、切割線定理、切線定理證明GE=GE′，從而證明結(jié)論．

解答：證明：如圖，連接PQ，并在PQ上取一點(diǎn)M，使得B，C，M，P四點(diǎn)共圓，連CM，PF．設(shè)PF與圓的另一交點(diǎn)為E′，并作QG丄PF，垂足為G．
易知QE²=QM•QP=QC•QB①，
∠PMC=∠ABC=∠PDQ．
從而C，D，Q，M四點(diǎn)共圓，于是
PM•PQ=PC•PD②，
由①，②得
PM•PQ+QM•PQ=PC•PD+QC•QB，
即PQ²=QC•QB+PC•PD．
易知PD•PC=PE′•PF，
又QF²=QC•QB，有
PE′•PF+QF²=PD•PC+QC•AB=PQ²，
即PE′•PF=PQ²-QF²．又
PQ²-QF²=PG²-GF²=（PG+GF）•（PG-GF）
=PF•（PG-GF），
從而PE′=PG-GF=PG-GE′，
即GF=GE′，故E′與E重合．
所以P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線定理、切割線定理，能夠用同一法證明三點(diǎn)共線的問(wèn)題．