Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），若在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)C，使得AC+BC=m，則稱點(diǎn)C為點(diǎn)A，B的“m和點(diǎn)”．如C坐標(biāo)為（0，0）時(shí)，AC+BC=4，則稱C（0，0）為點(diǎn)A，B的“4和點(diǎn)”．
（1）若點(diǎn)C為點(diǎn)A，B的“m和點(diǎn)”，且△ABC為等邊三角形，求m的值；
（2）A，B的“5和點(diǎn)”有幾個(gè)，請(qǐng)分別求出坐標(biāo)；
（3）直接指出點(diǎn)A，B的“m和點(diǎn)”的個(gè)數(shù)情況和相應(yīng)的m取值條件．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：新定義,分類討論

分析：（1）先由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出AB=4，再根據(jù)等邊三角形的定義得到AC=BC=AB=4，然后根據(jù)“m和點(diǎn)”的定義即可求出m=8；
（2）設(shè)點(diǎn)C為點(diǎn)A，B的“5和點(diǎn)”．根據(jù)“m和點(diǎn)”的定義可知點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，再分兩種情況進(jìn)行討論：①如果點(diǎn)C在x軸上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)AC+BC=5列出方程|x+2|+|x-2|=5，解方程求出x的值，即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；②如果點(diǎn)C在y軸上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），根據(jù)AC+BC=5列出方程

22+y2

+

22+y2

=5，解方程求出y的值，即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由AB=4，可知點(diǎn)A，B的“m和點(diǎn)”的個(gè)數(shù)情況分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)m＜4時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A，B的“m和點(diǎn)”沒(méi)有；②當(dāng)m=4時(shí)，x軸上-2與2之間的任意一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都是A，B的“m和點(diǎn)”，所以有無(wú)數(shù)個(gè)；③當(dāng)m＞4時(shí)，A，B的“m和點(diǎn)”x軸上有2個(gè)，y軸上也有2個(gè)，一共有4個(gè)．

解答：解：（1）∵A（-2，0），B（2，0），
∴AB=2-（-2）=4．
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC=AB=4，
∴AC+BC=4+4=8，即m=8；

（2）設(shè)點(diǎn)C為點(diǎn)A，B的“5和點(diǎn)”．分兩種情況：
①如果點(diǎn)C在x軸上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0）．
∵AC+BC=5，
∴|x+2|+|x-2|=5，
當(dāng)x≤-2時(shí)，-（x+2）-（x-2）=5，解得x=-2.5，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2.5，0）；
當(dāng)-2＜x≤2時(shí)，（x+2）-（x-2）=5，x無(wú)解；
當(dāng)x＞2時(shí)，（x+2）+（x-2）=5，解得x=2.5，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（2.5，0）；
②如果點(diǎn)C在y軸上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y）．
∵AC+BC=5，
∴

22+y2

+

22+y2

=5，
∴

22+y2

=2.5，
兩邊平方，得4+y²=6.25，
解得y=±1.5．
經(jīng)經(jīng)驗(yàn)，y=±1.5都是原方程的根，
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1.5），（0，-1.5）；
綜上所述，A，B的“5和點(diǎn)”有4個(gè)，坐標(biāo)為（-2.5，0），（2.5，0），（0，1.5），（0，-1.5）；

（3）∵AB=4，
∴點(diǎn)A，B的“m和點(diǎn)”的個(gè)數(shù)情況分三種情況：
①當(dāng)m＜4時(shí)，A，B的“m和點(diǎn)”沒(méi)有；
②當(dāng)m=4時(shí)，A，B的“m和點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)；
③當(dāng)m＞4時(shí)，A，B的“m和點(diǎn)”有4個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，兩點(diǎn)間的距離公式，等邊三角形的定義，同時(shí)考查學(xué)生的閱讀理解能力和知識(shí)的遷移能力．正確理解A，B的“m和點(diǎn)”的定義是解題的前提，運(yùn)用方程思想、分類討論是解題的關(guān)鍵．