Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；

（2）求過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）y＝﹣x+4；（3）存在，（1，4）或（，）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c即可；

（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+4，再將點(diǎn)B（4，0）代入y＝kx+4即可；

（3）先判斷存在點(diǎn)P，求出AC，BC的長(zhǎng)及∠OCB＝∠OBC＝45°，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+4），則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），用含m的代數(shù)式表示出QM，AM的長(zhǎng)，然后分①當(dāng)AC＝AQ時(shí)，②當(dāng)AC＝CQ時(shí)，③當(dāng)CQ＝AQ時(shí)三種情況進(jìn)行討論，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）將點(diǎn)A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

得，，

解得，，

∴此拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+4；

（2）在y＝﹣x2+x+4中，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，

∴C（0，4），

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+4，

將點(diǎn)B（4，0）代入y＝kx+4，

得，k＝﹣1，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4；

（3）存在，理由如下：

∴A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），

∴OA＝3，OC＝OB＝4，

∴AC＝＝5，BC＝＝4，∠OCB＝∠OBC＝45°，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+4），則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），

∴QM＝﹣m+4，AM＝m+3，

①當(dāng)AC＝AQ時(shí)，則AC＝AQ＝5，

（m+3）2+（﹣m+4）2＝25，

解得：m1＝1，m2＝0（舍去），

當(dāng)m＝1時(shí)，﹣m2+m+4＝4，

則點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，4）；

②當(dāng)AC＝CQ時(shí)，CQ＝AC＝5，

如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥y軸于點(diǎn)D，

則QD＝CD＝OM＝m，

則有2m2＝52，

解得m1＝，m2＝﹣（舍去）；

當(dāng)m＝時(shí)，﹣m2+m+4＝，

則點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）；

③當(dāng)CQ＝AQ時(shí)，（m+3）2+（﹣m+4）2＝2m2，

解得：m＝（舍去）；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（，）．