Question

（2012•宜昌一模）如圖1，頂點為B（r，t+6），的拋物線y=ax²+bx+c過點A（0，6），t≠0，連接AB，P是線段AB上的動點，過點P作x軸的垂線（垂足為D），交拋物線y=ax²+bx+c于點C，設點P的橫坐標為m，AC、AB、BC圍成的圖形面積為S，點P，C之間的距離為d，s是m的二次函數，圖象如圖2所示，Q為頂點，O，E為其與m軸的兩個交點．
（1）求s與m的函數關系；
（2）求r的值；
（3）求d與m函數關系式；
（4）求拋物線y=ax²+bx+c的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據2可得出拋物線頂點Q的坐標為（2，4），且過點E（4，0），然后設s=a（m-2）²+4，將點E（4，0）代入，可得出a的值，繼而可得出s與m的函數關系式．
（2）根據圖1當點P與A或B重合時，s=0，結合圖2，s=0時點P的橫坐標，可得出點B的橫坐標為4，即可得出r的值．
（3）過點A作直線PC，直線x=4的垂線，垂足分別為M，N，且AN=4，然后將a用t表示出來，求出直線AB的解析式，得出點P、點C的坐標，根據PC=d，結合當m=2時，d=2，可得出t的值，繼而可得出拋物線的解析式．

解答：解：（1）由圖2可知，拋物線的頂點Q（2，4），且過點E（4，0），
設S=a（m-2）²+4，
將點E（4，0）代入得，0=a（4-2）²+4，
解得：a=-1，
故可得：S=-（m-2）²+4．
（2）由圖1可知，當點P與A或B重合時，s=0，由圖2知，此時點P的橫坐標為0或4，
所以點B（4，t+6），從而r=4．
（3）過點A作直線PC，直線x=4的垂線，垂足分別為M，N，且AN=4，
∵S=

1

2

PC•AM+

1

2

PC•MN=

1

2

AN•PC=2PC=2d，
∴d=

1

2

s=-

1

2

（m-2）²+2=-

1

2

m²+2m．
（4）拋物線y=ax²+bx+c的頂點B（4，t+6），且過A（0，6），
可設拋物線為y=a（x-4）²+t+6，
將A（0，6）代入得：6=16a+t+6，
解得：a=-

1

16

t，
所以y=-

1

16

t（x-4）²+t+6，
因為直線AB過A（0，6），可設其解析式為y=kx+6，
將B（4，t+6）代入得，t+6=4k+6，解得，k=

1

4

t，所以直線AB：y=

1

4

tx+6，
因而點P（m，

1

4

tm+6 ），點C（ m，-

1

16

t（m-4）²+t+6 ），
PC=d=

1

4

tm+6-[-

1

16

t（m-4）²+t+6]=

1

16

tm²-

1

4

tm，
因為當m=2時，d=2，所以

1

16

t×2²-

1

4

t×2=2，即解得t=-8，
因而所求拋物線為y=

1

2

（x-4）²-2．

點評：此題屬于二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、三角形的面積、二次函數的圖象，亮點在于兩個二次函數圖象的結合，要求我們能正確從圖象中獲取信息，解答本題的難點在第三問，過程比較繁瑣，注意仔細思考．