Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、C兩點(diǎn)間的距離之和最小．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）如果在x軸上方平行于x軸的一條直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑作圓恰好與x軸相切，求此圓的直徑．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+c，
把B（3，0），C（0，-3）代入得：
，
解得a=1，c=-4，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3；

（2）存在．
∵由對稱性可知，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴直線BC的解析式為y=x-3，
∵P點(diǎn)在對稱軸上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y）代入y=x-3，
求得P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）；

（3）證明：設(shè)圓的半徑為r，
依題意有M（1-r，r），N（1+r，r）把M的坐標(biāo)代入y=x²-2x-3，
整理得：r²-r-4=0，
解得（舍去），
∴所求圓的直徑為．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可；
（2）利用對稱性可知，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），進(jìn)而得出直線BC的解析式，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）首先表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而代入二次函數(shù)解析式得出r的值，即可得出答案．
點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．