Question

如圖所示：A是x軸正半軸上的一個動點，以OA為邊在x軸下方作矩形OABC，使，將點B沿經過A點的某直線對折到OC邊上D點處，以B為頂點的拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）經過D點，并且與過A、D兩點的直線y=mx+n交于P點．
（1）求m的值；
（2）判斷點M（2，-3）能否成為矩形OABC的對稱中心？請說明理由；
（3）若點M（2，-3）始終在矩形OABC內部，求S_△BDP的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，
∴設A的坐標為（4k，0），B的坐標為（4k，-5k），
根據題意得：AD=AB，
∴OD==3k，
∴D的坐標為（0，-3k）；
∴，
解得：m=；

（2）∵四邊形OABC是矩形，
∴矩形OABC對稱中心為（2k，-2.5k），
∵點M（2，-3），
2k=2，則k=1；
-2.5k=-3，則k=；
∴矛盾，
∴M點不是矩形OABC的對稱中心；

（3）直線y=mx+n過點A和D，
∴直線AD的解析式為：y=x-3k，
設拋物線y=a（x-4k）²-5k，過D點，
代入得：-3k=a（0-4k）²-5k，解得：a=，
拋物線為y=（x-4k）²-5k，
聯(lián)立拋物線與直線，
解得P點（14k，k）
∴S_△BDP=S_△DAB+S_△PAB=×5k×4k+×5k×10k=35k²，
∵M（2，-3）在矩形內部，
∴，
∴k＞，
∴S_△BDP＞35×（）²=，
即S_△BDP＞．
分析：（1）由，可設A的坐標為（4k，0），B的坐標為（0，5k），又由折疊的性質，即可求得點D的坐標，然后利用待定系數法即可求得m的值；
（2）由四邊形OABC是矩形，即可求得矩形OABC對稱中心為（2k，-2.5k），又由點M（2，-3），分別求得k的可能取值，得到矛盾，即可得點M（2，-3）不能成為矩形OABC的對稱中心；
（3）由直線y=mx+n過點A和D，求得直線AD的解析式為：y=x-3k，又由拋物線y=a（x-4k）²-5k，過D點，利用待定系數法即可求得此二次函數的解析式，聯(lián)立拋物線與直線，求得P點的坐標，由S_△BDP=S_△DAB+S_△PAB與M（2，-3）在矩形內部，即可求得S_△BDP的取值范圍．
點評：此題考查了矩形的性質，折疊的性質，待定系數法求函數的解析式以及三角形面積問題等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．