Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(點在點的左側(cè))，與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點．

(1)請直接寫出、兩點的坐標及的度數(shù)；

(2)如圖1，若點為拋物線對稱軸上的點，且，求點的坐標；

(3)如圖，若點、分別為線段和上的動點，且，過、分別作軸的垂線，垂足分別為、．在、兩點的運動過程中，試探究：

①是否是一個定值？如果是，請求出這個定值，如果不是，請說明理由；

②若將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，當點從點運動到點的過程中，求點和點的運動軌跡的長度之和．

Answer 1

【答案】（1）A（-3，0），B(1，0)，∠ACB=90°；（2）P（-1，-2）或P（-1，2）；（3）①是一個定值，這個定值為1；②A′，B′的運動軌跡的長度之和為．

【解析】

（1）先根據(jù)拋物線的解析式可求出點A，B，C的坐標，再分別求出AC，BC，AB的長，根據(jù)勾股定理的逆定理可以得出△ABC的形狀，從而得出結(jié)果；

（2）先根據(jù)拋物線的解析式可得出拋物線的對稱軸，從而可得出點D的坐標，所以有DA=DC=DB=2，以D為圓心，2為半徑作出⊙D，再得出∠CPB=∠CDB，可知點P在⊙D上，進而可得出點P的坐標；

（3）①作DP⊥AC，DQ⊥BC，先證明△DPE∽△DQF，得出；再證明△EMD∽△DNF，得出，從而有DN=ME，在Rt△AME中，有AM=ME，最后可得出AM=DN，進而可得出結(jié)論；②先證明△A′DF≌△BDF，得出A′與B′重合，再根據(jù)點A′在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，再求出點F從點B到點C的過程中，點A′運動的弧長所對應的圓心角的度數(shù)，即可得出結(jié)論．

解：（1）中，令x=0得，y=；

令y=0得，，解得x1=-3，x2=1，

∴A（-3，0），B(1，0)，C（0，），

∴OA=3，OB=1，OC=，

∴AB=4，AC=2，BC=2，

∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°；

（2）由得拋物線的對稱軸為x=-1，

∴點D（-1,0），∴DA=DC=DB=2，

∴以D為圓心，2為半徑作出⊙D，如圖，

∵tan∠OCB=，∴∠OCB=30°，

∴∠BPC=∠OCB=30°，∠OBC=60°，∴△BCD為等邊三角形，∴∠CDB=60°，

∴∠CPB=∠CDB，

∴點P在⊙D上，PD=BD=2，分以下兩種情況：

若點P在x軸下方，點P的坐標為（-1，-2）；

若點P在x軸上方，點P的坐標為（-1，2）．

綜上所述，點P的坐標（-1，-2）或（-1，2）；

（3）①是一個定值，理由如下：

作DP⊥AC，DQ⊥BC，如圖，則DP∥BC，DQ∥AC，

∵D為AB的中點，

∴DP=BC=1，DQ=AC=．

∵∠EDF=∠PDQ=90°，∴∠EDP=∠FDQ，

∴△DPE∽△DQF，∴．

又∵∠EDM+∠FDN=90°，∠EDM+∠DEM=90°，∴∠FDN=∠DEM，

∵∠EMD=∠DNF=90°，∴△EMD∽△DNF，∴，∴DN=ME，

∵在Rt△ABC中，AB=2AC，∴∠EAM=30°，∴AM=ME=DN，

∴=1，

故是一個定值，這個定值為1．

②如圖，將△ADE沿DE翻折至△A′DE，

∴DA′=DA，∠EDA′=∠EDA，

∴∠A′DF=∠EDF-∠EDA′=90°-∠EDA=∠FDB，

又AD=BD=A′D，DF=DF，

∴△A′DF≌△BDF（SAS），

∴將△BDF沿著DF翻折至△B′DF，則A′與B′重合，

由于A′運動過程中有DA′=DA=2，

∴A′在以D為圓心，2為半徑的圓上運動．

當F在B點時，A′與B重合，

當F在C點時，如圖所示，

此時△FDB為等邊三角形，∴∠FDB=60°，

∴∠ADE=180°-∠EDF-∠FDB=30°，

∴∠A′DE=∠ADE=30°，∴∠A′DB=120°，

∴A′的運動軌跡長度為：×2π×2=，

∴A′，B′的運動軌跡長度之和為．