Question

已知，△ABC是等邊三角形，點D為直線BC上一點（端點B、C除外），以AD為邊作等邊△ADF，連接CF．
（1）如圖1，點D在點C右邊，①求證：BD=CF；②求∠FCD的度數(shù)；
（2）如圖2，點D在點B左邊，點F在直線BC下方，請先補全圖形，并直接給出∠AFC與∠DAC之間滿足的數(shù)量關(guān)系式為

∠AFC+∠DAC=120°

．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，則∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，根據(jù)全等三角形的判定方法得到△ABD≌△ACF，
則BF=CF；②由△ABD≌△ACF得到∠ACF=∠ABD=60°，然后利用∠FCD=180°-（∠ACB+∠ACF）進行計算；
（2）根據(jù)題意畫圖，與①一樣可證明△ABD≌△ACF，則∠ADB=∠AFC，∠DAB=∠FCA，于是∠AFC+∠DAC=∠ADB+∠DAB+∠BAC=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°．

解答：（1）①證明：∵△ABC和△ADF都是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF，
∴BF=CF；
②解：∵△ABD≌△ACF，
∴∠ACF=∠ABD=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠FCD=180°-（∠ACB+∠ACF）=60°；
（2）解：如圖；  
∵△ABC和△ADF都是等邊三角，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC-∠BAF=∠DAF+∠BAF，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ADB=∠AFC，∠DAB=∠FCA，
∴∠AFC+∠DAC=∠ADB+∠DAB+∠BAC=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°．
故答案為∠AFC+∠DAC=120°．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組邊對應相等，且它們所夾的角相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等，對應角相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．