【題目】二次函數(shù)=++的頂點M是直線=-和直線=+的交點.
(1)若直線=+過點D(0,-3),求M點的坐標及二次函數(shù)=++的解析式;
(2)試證明無論取任何值,二次函數(shù)=++的圖象與直線=+總有兩個不同的交點;
(3)在(1)的條件下,若二次函數(shù)=++的圖象與軸交于點C,與的右交點為A,試在直線=-上求異于M的點P,使P在△CMA的外接圓上.
【答案】(1)M點坐標為M(2,-1),二次函數(shù)=++的解析式為: =-4+3;
(2)證明見解析;
(3)P(-, )
【解析】(本小題滿分14分)
解:(1)把D(0,-3)坐標代入直線=+中,
得=-3,從而得直線=-3.……………………………………………1分
由M為直線=-與直線=-3的交點,
得,………………………………………………………………………2分
解得,∴得M點坐標為M(2,-1).…………………………………3分
∵M為二次函數(shù)=++的頂點,∴其對稱軸為=2,
由對稱軸公式: =-,得-=2,∴=-4;
由=-1,得=-1,得=3.
∴二次函數(shù)=++的解析式為: =-4+3;………………4分
[也可用頂點式求得解析式:由M(2,-1),
得=-1,展開得=-4+3]
(2)∵M是直線=-和=+的交點,得,
解得,∴得M點坐標為M(-, ).…………………………1分
從而有-=-和=,
解得=; =+.…………………………………………………3分
由,得+(-1)+-=0,……………………4分
該一元二次方程根的判別式
⊿=(-1)2-4(-)
=(-1)2-4(+-)=1>0,…………………………5分
∴二次函數(shù)=++的圖象與直線=+總有兩個不同的交點;
(3)解法①:
由(1)知,二次函數(shù)的解析式為: =-4+3,
當(dāng)=0時, =3.∴點C的坐標為C(0,3).……………………………1分
令=0,即-4+3=0,解得=1, =3,
∴點A的坐標為A(3,0).………………………………………………………2分
由勾股定理,得AC=3.∵M點的坐標為M(2,-1),
過M點作軸的垂線,垂足的坐標應(yīng)為(2,0),由勾股定理,
得AM=;過M點作軸的垂線,垂足的坐標應(yīng)為(0,-1),
由勾股定理,得CM===2.
∵AC2+AM2=20=CM2,∴△CMA是直角三角形,……………………3分
CM為斜邊,∠CAM=90°.
直線=-與△CMA的外接圓的一個交點為M,另一個交點為P,
則∠CPM=90°.即△CPM為Rt△.………………………………………4分
設(shè)P點的橫坐標為,則P(,- ).過點P作軸垂線,
過點M作軸垂線,兩條垂線交于點E(如圖4),則E(,-1).
過P作PF⊥軸于點F,則F(0,- ).
在Rt△PEM中,PM2=PE2+EM2
=(-+1)2+(2-)2=-5+5.
在Rt△PCF中,PC2=PF2+CF2=+(3+)2
=+3+9.在Rt△PCM中,PC2+PM2=CM2,
得+3+9+-5+5=20,
化簡整理得5-4-12=0,解得=2, =-.
當(dāng)=2時, =-1,即為M點的橫、縱坐標.
∴P點的橫坐標為-,縱坐標為.
∴P(-, ).……………………………………………………………………5分
解法②[運用現(xiàn)行高中基本知識(解析幾何):線段中點公式及兩點間距離公式]:
設(shè)線段CM的中點(即△CMA內(nèi)接圓的圓心)為H,則由線段中點公式,可求出H的坐標為H(1,1).∵點P在⊙H上,∴點P到圓心H的距離等于半徑.
設(shè)點P的坐標為:P(,- ),由兩點間的距離公式,得PH的長度為:
,從而有: =,即
=5,化簡,整理,得化簡整理得5-4-12=0,解得=2, =-.當(dāng)=2時, =-1,即為M點的橫、縱坐標.
∴P點的橫坐標為-,縱坐標為.
∴P(-, ).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩個正數(shù)a,b,可按規(guī)則c=ab+a+b擴充為一個新數(shù)c,在a,b,c三個數(shù)中取兩個較大的數(shù),按上述規(guī)則擴充得到一個新數(shù),依次下去,將每擴充一次得到一個新數(shù)稱為一次操作。
(1)若a=1,b=3,按上述規(guī)則操作3次,擴充所得的數(shù)是__________;
(2)若p>q>0,經(jīng)過3次操作后擴充所得的數(shù)為(m,n為正整數(shù)),則m,n的值分別為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,D為BC邊上的點,∠CAD=∠CDA,E為AB邊的中點.
(1)尺規(guī)作圖:作∠C的平分線CF,交AD于點F(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)連結(jié)EF,EF與BC是什么位置關(guān)系?為什么?
(3)若四邊形BDFE的面積為9,求△ABD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某文藝團體為“希望工程”募捐組織了一場義演,共售出1000張票,籌出票款6920元,且每張成人票8元,學(xué)生票5元.
(1)問成人票與學(xué)生票各售出多少張?
(2)若票價不變,仍售出1000張票,所得的票款可能是7290元嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,直線AB、CD相交于點O,且∠BOC=80°,OE平分∠BOC.OF為OE的反向延長線.求∠2和∠3的度數(shù),并說明OF是否為∠AOD的平分線.
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