Question

如圖，A為⊙O上一點(diǎn)，以A為圓心的⊙A交⊙O于B、C兩點(diǎn)，⊙O的弦AD交公共弦BC于E點(diǎn)．
（1）求證：AD平分∠BDC；
（2）求證：AC²=AE•AD．

Answer 1

（1）證明：連接AO交BC于點(diǎn)F，
∴AO⊥BC，CF=BF，
∴，
∴∠ADB=∠ADC，
∴AD平分∠BDC；

（2）證明：∵∠ADB=∠ACE，
∴∠ADC=∠ACE．
∵∠DAC=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC²=AE•AD．
分析：（1）連接AO，由相交弦定理就可以得出AO垂直平分BC，由垂徑定理就可以得出，從而得出∠ADB=∠ADC而得出結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論可以得出∠ADC=∠ACE，從而得出△ACE∽△ADC，由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查了相交弦定理的運(yùn)用，垂徑定理的運(yùn)用，圓周角定理的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形相似是關(guān)鍵．