Question

（2012•莆田）點A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示．若P是x軸上使得|PA-PB|的值最大的點，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點，則OP•OQ=

5

．

Answer 1

分析：連接AB并延長交x軸于點P，作A點關于y軸的對稱點A′連接A′B交y軸于點Q，求出點Q與y軸的交點坐標即可得出結論．

解答：解：連接AB并延長交x軸于點P，由三角形的三邊關系可知，點P即為x軸上使得|PA-PB|的值最大的點，
∵點B是正方形的中點，
∴點P即為AB延長線上的點，此時P（3，0）即OP=3；
作A點關于y軸的對稱點A′連接A′B交y軸于點Q，則A′B即為QA+QB的最小值，
∵A′（-1，2），B（2，1），
設過A′B的直線為：y=kx+b，則

2=-k+b 1=2k+b

，
解得

k=- 1 3 b= 5 3

，
∴Q（0，

5

3

），即OQ=

5

3

，
∴OP•OQ=3×

5

3

=5．
故答案為：5．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據題意得出P、Q兩點的坐標是解答此題的關鍵．