【題目】如圖(1),正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是AC上一點,連結(jié)EB,過點A作AM⊥BE,垂足為M,AM與BD相交于點F.
(1)求證:OE=OF;
(2)如圖(2)若點E在AC的延長線上,AM⊥BE于點M,AM交DB的延長線于點F,其他條件不變,結(jié)論“OE=OF”還成立嗎?如果成立,請給出證明;如果不成立,請說明理由.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形.

∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.

又∵AM⊥BE,

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,

∴∠MEA=∠AFO.

在△BOE和△AOF中,

,

∴△BOE≌△AOF.

∴OE=OF.


(2)解:OE=OF成立.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.

又∵AM⊥BE,

∴∠F+∠MBF=90°,

∠E+∠OBE=90°,

又∵∠MBF=∠OBE,

∴∠F=∠E.

在△BOE和△AOF中,

∴△BOE≌△AOF.

∴OE=OF.


【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)對角線垂直且平分,得到OB=OA,又因為AM⊥BE,所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,從而求證出Rt△BOE≌Rt△AOF,得到OE=OF.(2)根據(jù)第一步得到的結(jié)果以及正方形的性質(zhì)得到OB=OA,再根據(jù)已知條件求證出Rt△BOE≌Rt△AOF,得到OE=OF.
【考點精析】利用正方形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

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