Question

11．如下圖所示，將長方形ABCD的一角折起來，使得B點(diǎn)和E點(diǎn)重合，而通過E點(diǎn)可以將AD邊3等分．求FG的長度．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)得出AD=BC=9cm，∠A=∠B=90°，由折疊的性質(zhì)得：EF=BF，EG=BG，∠GEF=∠B=90°，設(shè)EF=BF=x，則AF=AB-BF=5-x，在Rt△AEF中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF=EF=$\frac{17}{5}$cm，AF=$\frac{8}{5}$cm，作GM⊥AD于M，則MG=AB=5cm，證明△MGE∽△AEF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出EG，再由勾股定理求出FG即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=9cm，∠A=∠B=90°，
∵E是AD的三等分點(diǎn)，
∴AE=3cm，
由折疊的性質(zhì)得：EF=BF，EG=BG，∠GEF=∠B=90°，
設(shè)EF=BF=x，則AF=AB-BF=5-x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：3²+（5-x）²=x²，
解得：x=$\frac{17}{5}$，
∴BF=EF=$\frac{17}{5}$cm，AF=$\frac{8}{5}$cm，
作GM⊥AD于M，則MG=AB=5cm，∠GME=90°=∠A，
∴∠GEM+∠EGM=90°，
∵∠GEM+∠AEF=90°，
∴∠EGM=∠AEF，
∴△MGE∽△AEF，
∴$\frac{EG}{EF}=\frac{MG}{AE}$，即$\frac{EG}{\frac{17}{5}}=\frac{5}{3}$，
解得：EG=$\frac{17}{3}$cm，
∴BG=EG=$\frac{17}{3}$cm，
∴FG=$\sqrt{B{F}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{17}{5}）^{2}+（\frac{17}{3}）^{2}}$=$\frac{17\sqrt{34}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形和翻折變換的性質(zhì)，由勾股定理求出BF是解決問題的關(guān)鍵．