Question

如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，且DE∥BC，下列結(jié)論：①△BDF是等腰三角形；②DE=BC；③四邊形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A，其中一定正確的是（ ）

A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：分別過點(diǎn)D、E作BC的垂線DG、EH；連接AF，由于折疊是軸對(duì)稱圖形知AF⊥DE，因?yàn)镈E∥BC，所以AF⊥BC，且AM=MF，可以證明DE是△ABC的中位線．
由于折紙是軸對(duì)稱圖形知AD=DF，AE=EF，所以DA=DB=DF，可以證明①是等腰三角形；因DG∥AF∥EH，又因?yàn)镈G是等腰三角形BDF的高，可證∠BDF=2∠DAM，同理∠CEF=2∠EAM，可證④正確；顯然③四邊形ADFE是菱形是錯(cuò)誤的．
解答：解：分別過點(diǎn)D、E作BC的垂線DG、EH；連接AF，
∵折疊是軸對(duì)稱圖形，∴AF⊥DE，
∵DE∥BC，∴AF⊥BC，且AM=MF，
∴D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
即；②DE=BC，正確．
∵AD=DF，AE=EF，
∴DA=DB=DF，∴①△BDF是等腰三角形，正確．
∵DG∥AF∥EH，∴∠BDG=∠DAM，
又∵DG是等腰三角形BDF的高，
∴∠BDF=2∠DAM，同理∠CEF=2∠EAM，
∴④∠BDF+∠FEC=2∠A；如圖顯然③四邊形ADFE是菱形是錯(cuò)誤的．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查菱形的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，軸對(duì)稱圖形等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是分別過點(diǎn)D、E作BC的垂線DG、EH；連接AF，然后分別求證各個(gè)結(jié)論，此題有一定的拔高難度，屬于中檔題．