Question

16．（1）觀察與歸納：在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，直線l與y軸平行，點A與點B是直線l上的兩點（點A在點B的上方）．
①小明發(fā)現(xiàn)：若點A坐標(biāo)為（2，3），點B坐標(biāo)為（2，-4），則AB的長度為7； 
②小明經(jīng)過多次取l上的兩點后，他歸納出這樣的結(jié)論：若點A坐標(biāo)為（t，m），點B坐標(biāo)為（t，n），當(dāng)m＞n時，AB的長度可表示為m-n；
（2）如圖2，正比例函數(shù)y=x與一次函數(shù)y=-x+6交于點A，點B是y=-x+6圖象與x軸的交點，點C在第四象限，且OC=5．點P是線段OB上的一個動點（點P不與點0、B重合），過點P與y軸平行的直線l交線段AB于點Q，交射線OC于R，設(shè)點P橫坐標(biāo)為t，線段QR的長度為m．已知當(dāng)t=4時，直線l恰好經(jīng)過點C．
①求點A的坐標(biāo)；
②求OC所在直線的關(guān)系式；
③求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）直線AB與y軸平行，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B兩點橫坐標(biāo)相等，再根據(jù)AB的長度為|y₁-y₂|即可求得，
（2）①聯(lián)立方程，解方程得出A點的坐標(biāo)；
②根據(jù)勾股定理求得C點坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得OC所在直線的關(guān)系式；
③根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式，求得PR，進而求出即可．

解答 解：（1）①若點A坐標(biāo)為（2，3），點B坐標(biāo)為（2，-4），則AB的長度為3-（-4）=7；
②若點A坐標(biāo)為（t，m），點B坐標(biāo)為（t，n），當(dāng)m＞n時，AB的長度可表示為m-n；
故答案為7；m-n；
（2）①解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（3，3）；
②∵直線l平行于y軸且當(dāng)t=4時，直線l恰好過點C，如圖2，作CE⊥OB于E，
∴OE=4，
在Rt△OCE中，OC=5，
由勾股定理得：
CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=3，
∴點C的坐標(biāo)為：（4，-3）；
設(shè)OC所在直線的關(guān)系式為y=kx，則-3=4k，
∴k=-$\frac{3}{4}$，
∴OC所在直線的關(guān)系式為y=-$\frac{3}{4}$x；
③由直線y=-x+6可知B（6，0），
作AD⊥OB于D，
∵A（3，3），
∴OD=BD=AD=3，
∴∠AOB=45°，OA=AB，
∴∠OAB=90°，∠ABO=45°
如圖3，
∵∠BPQ=90°，∠ABO=45°，
∴∠BQP=∠PBQ=45°，
∴BP=QP，
∵點P的橫坐標(biāo)為t，
∴PB=QP=6-t，
∵PR∥CE，
∴$\frac{OE}{OP}$=$\frac{EC}{PR}$，
∴$\frac{4}{t}$=$\frac{3}{PR}$，
解得：PR=$\frac{3}{4}$t，
∴QR=QP+PR=6-t+$\frac{3}{4}$t=6-$\frac{1}{4}$t，
∴m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：m=6-$\frac{1}{4}$t（3≤t＜6）．

點評 此題主要考查了一次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．