Question

（1）已知正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，如圖①?，將△BOC繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△B′OC′，OC′與CD交于點(diǎn)M，OB′與BC交于點(diǎn)N，請猜想線段CM與BN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（2）如圖②?，將（1）中的△BOC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△BO′C′，連接AO′、DC′，請猜想線段AO′與DC′的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）如圖③?，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共點(diǎn)A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，連接DE、CF，請求出

DE

CF

的值（用α的三角函數(shù)表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）如圖1①，根據(jù)正方形的性質(zhì)得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B′OC′=∠BOC=90°，然后利用等角的余角相等得∠B′OB′=∠COC′，則可根據(jù)“ASA”判斷△BON≌△COM，于是得到CM=BN；
（2）如圖②，連接DC′，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，于是可判斷△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
則AC=

2

AB，BC=

2

BO，所以BD=

2

AB；再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，則BC′=

2

BO′，所以

BD

BA

=

BC′

BO′

=

2

，再證明∠1=∠2，則可根據(jù)相似的判定定理得到△BDC′∽△BAO′，利用相似比即可得到DC′=

2

AO′；
（3）如圖③，根據(jù)余弦的定義，在Rt△AEF中得到cos∠EAF=

AE

AF

；在Rt△DAC中得到cos∠DAC=

AD

AC

，由于∠EAF=∠DAC=α，所以

AE

AF

=

AD

AC

=cosα，∠EAD=∠FAC，則可根據(jù)相似的判定定理得到△AED∽△AFC，利用相似比即可得到

DE

CF

=cosα．

解答：解：（1）CM=BN．理由如下：如圖①，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，
∵△BOC繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△B′OC′，
∴∠B′OC′=∠BOC=90°，
∴∠B′OC+∠COC′=90°，
而∠BOB′+∠B′OC=90°，
∴∠B′OB′=∠COC′，
在△BON和△COM中

∠OBN=∠OCM OB=OC ∠BON=∠COM

，
∴△BON≌△COM（ASA），
∴CM=BN；
（2）如圖②，連接DC′，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，
∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∴AC=

2

AB，BC=

2

BO，
∴BD=

2

AB，
∵△BOC繞點(diǎn)B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△B′OC′，
∴∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，
∴BC′=

2

BO′，
∴

BD

BA

=

BC′

BO′

=

2

，
∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△BDC′∽△BAO′，
∴

DC′

AO′

=

BD

BA

=

2

，
∴DC′=

2

AO′；

（3）如圖③，在Rt△AEF中，cos∠EAF=

AE

AF

；
在Rt△DAC中，cos∠DAC=

AD

AC

，
∵∠EAF=∠DAC=α，
∴

AE

AF

=

AD

AC

=cosα，∠EAF+∠FAD=∠FAD+∠DAC，即∠EAD=∠FAC，
∴△AED∽△AFC，
∴

DE

CF

=

AD

AC

=cosα．

點(diǎn)評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握矩形和正方形的性質(zhì)；同時會運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；能靈活利用三角形全等或相似的判定與性質(zhì)解決線段之間的關(guān)系．