Question

如圖1，B、A在x、y軸的正半軸上，C在x軸正半軸上B點的右側(cè)，OB、OC是方程x²-3x+2=0的兩根，AB=2OB，D（1，-1）．
（1）求四邊形AODB的面積；
（2）若y=kx+1（k≠0）交線段AO、BD于E、F，且S_{四邊形AEFB}=

1

4

+

3

4

，求k的值；
（3）將△OCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△O′CD′，若點D′恰好落在邊AB上，求O′到x軸的距離．

Answer 1

分析：（1）先由解方程x²-3x+2=0求得兩根x₁=1，x₂=2，從而確定OB=1，OC=2，進而得到AB=2，OA=

3

，BD=1，然后利用梯形的面積公式直接求S_{四邊形AODB}=

1

2

+

3

2

．
（2）先根據(jù)y=kx+1（k≠0）求出OE=1，AE=

3

-1，再利用梯形面積公式S_{四邊形AEFB}=

1

2

（BF+AE）×1得到：

1

2

（BF+

3

-1）×1=

1

4

+

3

4

，解方程求出BF=

3

2

-

3

2

．可得到點F坐標為（1，

3

2

-

3

2

），再利用待定系數(shù)法求得k=

3

2

-

5

2

．
（3）要想利用旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等的條件，需要過點D′作D′E⊥x軸于點E，過點O′作O′F⊥D′E交D′E的反向延長線于點F，先利用CD′=CD和Rt△D′EC中的勾股定理求出BE=

-1+ 5

4

，從而求出  D′E=

- 3 + 15

4

，再利用△O′FD′≌△D′EC求出FD′=EC=BE+BC=

3+ 5

4

，即可求出O′到x軸的距離為FE=FD′+D′E=

3+ 5 - 3 + 15

4

．

解答：解：（1）解方程x²-3x+2=0得：x₁=1，x₂=2，故OB=1，OC=2
∵AB=2OB，D（1，-1）
∴AB=2  OA=

3

  BD=1
∴S_{四邊形AODB}=

1

2

（BD+OA）•OB=

1

2

（1+

3

）×1=

1

2

+

3

2

（2）y=kx+1（k≠0）交線段AO、BD于E、F，如圖，則OE=1  AE=

3

-1
∵S_{四邊形AEFB}=

1

2

（BF+AE）×1=

1

2

（BF+

3

-1）×1=

1

4

+

3

4

，
∴BF=

3

2

-

3

2

故點F坐標為（1，

3

2

-

3

2

），代入y=kx+1（k≠0）得
k=

3

2

-

5

2

（3）過點D′作D′E⊥x軸于點E，過點O′作O′F⊥D′E交D′E的反向延長線于點F
設(shè)BE=a，則D′E=

3

a，在Rt△D′EC中，EC=EB+BC=a+1，D′C=DC=

2

∴（

3

a）²+（a+1）²=（

2

）²
解得a=

-1± 5

4

∴BE=

-1+ 5

4

    D′E=

- 3 + 15

4

∵O′D′=CD′∠FD′O′=∠ECD′∠F=∠D′EC=90°
∴△O′FD′≌△D′EC
∴FD′′=EC=BE+BC=

-1+ 5

4

+1=

3+ 5

4

∴O′到x軸的距離為FE=FD′+D′E=

3+ 5

4

+

- 3 + 15

4

=

3+ 5 - 3 + 15

4

點評：考查了一次函數(shù)綜合題．利用圖形的面積的兩種表示形式作為等量關(guān)系列方程是常用的一種方法．第（3）題中輔助線做法是常用的一種方法，這樣可以把旋轉(zhuǎn)前后的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起．