Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB為⊙O的直徑．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以3cm/s 的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），求：
（1）t分別為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？
（2）t分別為何值時(shí)，直線PQ與⊙O相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）只要PQ=CD，PD≠Q(mào)C，四邊形PQCD為等腰梯形，如圖，過P、D分別作BC的垂線，交BC于E、F點(diǎn)，則EF=PD，QE=FC=2，進(jìn)而求出即可．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P、Q分別在線段AD和BC上的運(yùn)動(dòng)，可以統(tǒng)一到直線PQ的運(yùn)動(dòng)中，要探求時(shí)間t對(duì)直線PQ與⊙O位置關(guān)系的影響，可先求出t為何值時(shí)，直線PQ與⊙O相切這一整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中特殊點(diǎn)，再結(jié)合PQ的初始與終了位置一起加以考慮，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)G，如圖因?yàn)�，AB=8，AP=t，BQ=26-3t，所以，PQ=26-2t，因而，過p做PH⊥BC，得HQ=26-4t，于是由勾股定理，可的關(guān)于t的一元二次方程，則t可求出．
解答：解：（1）如圖1，
由題意得，只要PQ=CD，PD≠Q(mào)C，四邊形PQCD為等腰梯形，
過P、D分別作BC的垂線交BC于E、F兩點(diǎn)，
則由等腰梯形的性質(zhì)可知，EF=PD，QE=FC=2，
所以3t-（24-t）=4，
解得t=7秒，
所以當(dāng)t=7秒時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形．

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)G，如圖2，過P作PH⊥BC于點(diǎn)H，
則PH=AB=8，BH=AP，
可得HQ=26-3t-t=26-4t，
由切線長定理得，PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t
由勾股定理得：PQ²=PH²+HQ²，即 （26-2t）²=8²+（26-4t）²
化簡整理得 3t²-26t+16=0，
解得t₁=或 t₂=8，
所以，當(dāng)t₁=或 t₂=8時(shí)直線PQ與⊙O相切．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及等腰梯形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，利用已知圖形構(gòu)造直角三角形進(jìn)而利用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．