Question

探究發(fā)現(xiàn)：
解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個解的和與積，它們和原來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？
（1）x²-2x=0（2）x²+3x-4=0（3）x²-5x+6=0

方  程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
（1）
（2）
（3）

（1）請用文字語言概括你的發(fā)現(xiàn)．
（2）一般的，對于關于x的方程x²+px+q=0的兩根為x₁、x₂，則x₁+x₂=

-p

，x₁•x₂

q

．
（3）運用以上發(fā)現(xiàn)，解決下面的問題：
①已知一元二次方程x²-2x-7=0的兩個根為x₁，x₂，則x₁+x₂的值為

B

A．-2     B．2     C．-7     D．7
②已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的兩根，試求（1+x₁）（1+x₂）和x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析：（1）求出三個方程的解，把已知的表格補充完整，根據(jù)表格中的數(shù)字得到一元二次方程的兩個根之和為一次項系數(shù)與二次項系數(shù)商的相反數(shù)，兩根之積為常數(shù)項與一次項系數(shù)的商；
（2）找出方程中a，b及c的值，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，即可填寫出一般性的結(jié)論；
（3）①找出方程的a，b及c的值，代入結(jié)論中計算即可得到x₁+x₂的值；
②找出方程的a，b及c的值，求出x₁+x₂與x₁x₂的值，然后將所求的第一個式子利用多項式乘以多項式的法則計算后，重新結(jié)合，將得出的x₁+x₂與x₁x₂的值代入可求出值，將第二個式子恒等配方后，把x₁+x₂與x₁x₂的值代入可求出值．

解答：

方  程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
（1）	0	2	2	0
（2）	1	-4	-3	-4
（3）	2	3	5	6

解：（1）一元二次方程的兩個根之和為一次項系數(shù)與二次項系數(shù)商的相反數(shù)，兩根之積為常數(shù)項與一次項系數(shù)的商；
（2）關于x的方程x²+px+q=0的兩根為x₁、x₂，
∵a=1，b=p，c=q，
則x₁+x₂=-

b

a

=-p，x₁•x₂=

c

a

=q；
（3）①一元二次方程x²-2x-7=0的兩個根為x₁，x₂，
∵a=1，b=-2，
∴x₁+x₂=-

b

a

=2；
②x₁，x₂是方程x²-x-3=0的兩根，
∵a=1，b=-1，c=-3，
∴x₁+x₂=-

b

a

=1，x₁x₂=

c

a

=-3，
則（1+x₁）（1+x₂）=1+（x₁+x₂）+x₁x₂=1+1-3=-1；x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1+6=7．
故答案為：（2）-p；q；（3）①B

點評：此題考查了根與系數(shù)的關系，是一道結(jié)論探究型題，要求學生由特殊到一般，總結(jié)出一般性的結(jié)論ax²+bx+c=0（a≠0），當b²-4ac≥0，即方程有解時，設此時方程的兩個根為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．