Question

如圖：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，動點P從點D出發(fā)沿DC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，動點Q從點C出發(fā)沿CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動．兩個點同時出發(fā)，當點P到達C點時，點Q隨之停止運動．求：
（1）梯形ABCD的面積；
（2）當PQ∥AB時，點P離開點D的時間（秒）；
（3）當P、Q、C這三個點構(gòu)成直角三角形時，點P離開點D多長時間？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知梯形ABCD的上、下底，要求梯形的面積，根據(jù)梯形的面積公式，可知只需求出梯形的高即可．為此，作梯形的高AE、DF，得到矩形ADFE及一對全等的三角形△ABE與△DCF，先求出BE的長，再由勾股定理求出梯形的高；
（2）當PQ∥AB時，易證△PQC是等腰三角形，過P作PM⊥QC于M．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可知QM=MC．如果設P點離開D點的時間等于t秒，則可用含t的代數(shù)式分別表示DP，PC，CQ，在直角△PMC中，根據(jù)PM=PCsinC=CMtanC，列出關于t的方程，即可求出結(jié)果；
（3）當P、Q、C三點構(gòu)成直角三角形時，設P點離開D點x秒，則可用含x的代數(shù)式分別表示DP，PC，CQ．由于∠C是銳角，那么分兩種情況：①∠PQC=90°；②∠QPC=90°．針對每一種情況，都可以在直角△PCQ中，利用cosC的值列出關于x的方程，從而求出結(jié)果．
解答：解：（1）作梯形的高AE、DF，得到矩形ADFE及直角△ABE，△DCF．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，
∴△ABE≌△DCF，又AEFD為矩形，得到AD=EF，
∴BE=CF=（BC-AD）=3，
在直角△ABE中，∠AEB=90°，AB=5，BE=3，
∴根據(jù)勾股定理得：AE=4，
則梯形ABCD的面積=（BC+AD）•AE=（12+6）×4=36；

（2）如圖，當PQ∥AB時，設P點離開D點的時間等于t秒，
則DP=t，PC=5-t，CQ=2t．
過P作PM⊥QC于M．
∵PQ∥AB，
∴∠PQM=∠B，
∵∠B=∠C，
∴∠PQM=∠C，
∴PQ=PC=5-t，
∴QM=MC=t．
∵PM=PC•sinC=CM•tanC，sinC=sinB=，tanC=tanB=，
∴（5-t）=t，
∴t=；

（3）當P、Q、C三點構(gòu)成直角三角形時，設P點離開D點x秒，則DP=x，PC=5-x，CQ=2x．
分兩種情況：①如圖，若∠PQC=90°，則cosC=，
∴=，解得x=；
②如圖，若∠QPC=90°，則cosC=，
∴=，解得x=．
故當P、Q、C三點構(gòu)成直角三角形時，P點離開D點的時間為秒或秒．
點評：本題主要考查梯形的面積公式，等腰梯形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等知識，綜合性較強，第三問中注意分類討論．