Question

恩施州自然風(fēng)光無(wú)限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱(chēng)于世.著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50km,A、B到直線(xiàn)X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖(AP與直線(xiàn)X垂直，垂足為P),P到A、B的距離之和S1=PA+PB； 圖（2）是方案二的示意圖(點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)X的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A'，連接BA'交直線(xiàn)X于點(diǎn)P),P到A、B的距離之和S2=PA+PB.　

(1).求S1 、S2 ,并比較它們的大小.

(2).請(qǐng)你說(shuō)明S2=PA+PB的值為最小.

(3).擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，B到直線(xiàn)Y的距離為30km,請(qǐng)你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q,使P、A、B、Q 組成的四邊形的周長(zhǎng)最小.并求出這個(gè)最小值.

　　

Answer 1

解:⑴圖（1）中過(guò)B作BC⊥AP,垂足為C,則PC=40,又AP=10,

∴AC=30                  ．

在Rt△ABC 中，AB=50 AC=30   ∴BC=40 

∴ BP=

S1=         

⑵圖（2）中，過(guò)B作BC⊥AA′垂足為C，則A′C=50，

又BC=40

∴BA'=

由軸對(duì)稱(chēng)知：PA=PA'

∴S2=BA'=           

∴                    

(2)如 圖（2），在公路上任找一點(diǎn)M,連接MA,MB,MA'，由軸對(duì)稱(chēng)知MA=MA'

∴MB+MA=MB+MA'A'B

∴S2=BA'為最小      

（3）過(guò)A作關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A', 過(guò)B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，

連接A'B',交X軸于點(diǎn)P, 交Y軸于點(diǎn)Q,則P,Q即為所求

過(guò)A'、 B'分別作X軸、Y軸的平行線(xiàn)交于點(diǎn)G,

A'B'=

∴所求四邊形的周長(zhǎng)為