Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)為P（-2，2），與y軸交于點(diǎn)A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點(diǎn)P沿直線移動到點(diǎn)P′（2，2），點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)PA、P′A′，如圖，作AH⊥PP′，利用拋物線的對稱性得到拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積等于平行四邊形APP′A′的面積，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出OP=

22+22

=2

2

，則PP′=2OP=4

2

，再利用面積法得到

1

2

OP•AH=

1

2

×3×2，可計(jì)算出AH=

3 2

2

，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．

解答：解：連結(jié)PA、P′A′，如圖，作AH⊥PP′，
∵頂點(diǎn)為P（-2，2）的拋物線平移到頂點(diǎn)為P′（2，-2）的拋物線，
∴拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積等于平行四邊形APP′A′的面積，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2），
∴OP=

22+22

=2

2

，PP′=2OP=4

2

，
∴S_△APO=

1

2

OP•AH=

1

2

×3×2，
∴AH=

6

2 2

=

3 2

2

，
∴平行四邊形APP′A′的面積=

3 2

2

×4

2

=12，
即拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為12．
故答案為12．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．