Question

小明遇到一個(gè)問(wèn)題：如圖1，正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD和DA邊上靠近A、B、C、D的n等分點(diǎn)，連接AF、BG、CH、DE，形成四邊形MNPQ．求四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比（用含n的代數(shù)式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如圖2，將△ABN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90゜至△CBN′，再將△ADM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90゜至△CDM′，得到5個(gè)小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是；
請(qǐng)你參考小明的做法，解決下列問(wèn)題：
（1）取n=3，如圖3，四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為_(kāi)_____（直接寫(xiě)出結(jié)果）；
（2）在圖4中探究，n=4時(shí)四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為_(kāi)_____（在圖4上畫(huà)圖并直接寫(xiě)出結(jié)果）；
（3）猜想：當(dāng)E、F、G、H分別是AB、BC、CD和DA邊上靠近A、B、C、D的n等分點(diǎn)時(shí)，四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為_(kāi)_____（用含n的代數(shù)式表示）；
（4）圖5是矩形紙片剪去一個(gè)小矩形后的示意圖，請(qǐng)你將它剪成三塊后再拼成正方形（在圖5中畫(huà)出并指明拼接后的正方形）．

Answer 1

解：（1）正方形ABCD的面積是10個(gè)小正方形，四邊形MNPQ是4個(gè)小正方形，
∴四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為：=；

（2）如圖1．
正方形ABCD的面積是17個(gè)小正方形，四邊形MNPQ是9個(gè)小正方形，
∴四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為：；

（3）正方形ABCD的面積是n²+1個(gè)小正方形，四邊形MNPQ是（n-1）²個(gè)小正方形，
∴四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為：；

（4）如圖2．
設(shè)每個(gè)小正方形的面積是1，圖形面積是10，
所以拼接后的正方形的邊長(zhǎng)是，
∴拼接后的正方形的是正方形ABCD．
分析：（1）查出旋轉(zhuǎn)后的正方形的個(gè)數(shù)是10，中間四邊形中正方形的個(gè)數(shù)是4，然后計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)四等分點(diǎn)再找出其它的等分點(diǎn)，仿照?qǐng)D3的作法畫(huà)出圖形，然后再查出旋轉(zhuǎn)后的正方形的個(gè)數(shù)是17，中間四邊形中正方形的個(gè)數(shù)是9，然后計(jì)算即可求解；
（3）根據(jù)前四個(gè)圖形的數(shù)據(jù)規(guī)律，分子是序數(shù)減1，再平方，分母是序數(shù)的平方再加上1，寫(xiě)出即可；
（4）根據(jù)面積是10，所以拼接后的正方形的邊長(zhǎng)是，然后根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)進(jìn)行剪接．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及設(shè)計(jì)作圖，難度不大，讀懂題目提供的信息是解題的關(guān)鍵．