Question

27、已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F．
（1）求證：AN=BM；
（2）求證：△CEF為等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）由等邊三角形可得其對應線段相等，對應角相等，進而可由SAS得到△CAN≌△MCB，結論得證；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠MCB，進而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF為等邊三角形．

解答：證明（1）：∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
在△CAN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△CAN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．
（2）∵△CAN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，∴△CEF為等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，∴△CEF為等邊三角形．

點評：本題主要考查了全等三角行的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握并熟練運用．