【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4);矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時(shí)一動點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動,設(shè)它們運(yùn)動的時(shí)間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖2所示).
①當(dāng)t=時(shí),判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)①不在;②最大值為.
【解析】
試題分析:(1)已知頂點(diǎn)坐標(biāo),又拋物線經(jīng)過原點(diǎn),用待定系數(shù)可求出拋物線解析式;
(2)①根據(jù)拋物線的對稱性求出E點(diǎn)坐標(biāo),再求出直線ME的解析式,把t知代入驗(yàn)證點(diǎn)P是否在直線ME上;
②最后一問設(shè)出P,N坐標(biāo),根據(jù)幾何關(guān)系求出PN,然后分兩種情況討論:(1)PN=0;(2)PN≠0;把求多邊形面積S轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.
試題解析:(1)因所求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4),故可設(shè)其關(guān)系式為,又∵拋物線經(jīng)過O(0,0),∴得,解得a=﹣1,∴所求函數(shù)關(guān)系式為,即.
(2)①點(diǎn)P不在直線ME上.根據(jù)拋物線的對稱性可知E點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),又M的坐標(biāo)為(2,4),設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b.于是得:,解得:,所以直線ME的關(guān)系式為y=﹣2x+8.
由已知條件易得,當(dāng)t=時(shí),OA=AP=,∴P(,).
∵P點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=﹣2x+8,∴當(dāng)t=時(shí),點(diǎn)P不在直線ME上.
②S存在最大值.理由如下:
∵點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上,且N在拋物線上,∴OA=AP=t,∴點(diǎn)P,N的坐標(biāo)分別為(t,t)、(t,),∴AN=(0≤t≤3),∴AN﹣AP=()﹣t==t(3﹣t)≥0,∴PN=.(ⅰ)當(dāng)PN=0,即t=0或t=3時(shí),以點(diǎn)P,N,C,D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形,此三角形的高為AD,∴S=DCAD=×3×2=3.
(ⅱ)當(dāng)PN≠0時(shí),以點(diǎn)P,N,C,D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形.
∵PN∥CD,AD⊥CD,∴S=(CD+PN)AD= ==,其中(0<t<3),由a=﹣1,0<<3,此時(shí)S最大=.
綜上所述,當(dāng)t=時(shí),以點(diǎn)P,N,C,D為頂點(diǎn)的多邊形面積有最大值,這個最大值為.
說明:(ⅱ)中的關(guān)系式,當(dāng)t=0和t=3時(shí)也適合.
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