Question

如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于點(diǎn)H，連CH．
（1）求證：△ACD≌△BCE； 
（2）求證：CH平分∠AHE； 
（3）求∠CHE的度數(shù)．（用含α的式子表示）

Answer 1

分析：（1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE；
（2）首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可證∠CAD=∠CBE，再證△ACM≌△BCN，（或證△ECN≌△DCM），可得CM=CN，即可證得CH平分∠AHE；
（3）由△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠BCE，繼而求得∠AHB=∠ACB=α，則可求得∠CHE的度數(shù)．

解答：（1）證明：∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）證明：過點(diǎn)C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAM=∠CBN，
在△ACM和△BCN中，

∠CAM=∠CBN ∠AMC=∠BNC=90° AC=BC

，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM=CN，
∴CH平分∠AHE；

（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AMH=∠AMC，
∴∠AHB=∠ACB=α，
∴∠AHE=180°-α，
∴∠CHE=

1

2

∠AHE=90°-

1

2

α．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．