Question

如圖，⊙O是以數(shù)軸原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P且與OB平行的直線與⊙O有公共點(diǎn)，則OP的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：將過點(diǎn)P且與OB平行的直線平移至P′的位置，使其與⊙O相切，設(shè)切點(diǎn)為Q，連接OQ，根據(jù)條件證明△OQP′為等腰直角三角形，已知OQ=1，解直角三角形求OP′，確定OP的取值范圍．

解答：解：如圖，平移過P點(diǎn)的直線到P′，使其與⊙O相切，設(shè)切點(diǎn)為Q，連接OQ，
由切線的性質(zhì)，得∠OQP′=90°，
∵OB∥P′Q，
∴∠OP′Q=∠AOB=45°，
∴△OQP′為等腰直角三角形，
在Rt△OQP′中，OQ=1，
OP′=

OQ

sin45°

=

2

，
∴當(dāng)過點(diǎn)P且與OB平行的直線與⊙O有公共點(diǎn)時(shí)，0≤OP≤

2

，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸即點(diǎn)P向左側(cè)移動(dòng)時(shí)，結(jié)果相同．
故答案為：0≤OP≤

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系問題．關(guān)鍵是通過平移，確定直線與圓相切的情況，求出此時(shí)OP的值．