Question

5．如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在∠ABC的平分線上，點(diǎn)D在BC邊上，連接AE、DE，且∠AED=120°．
（1）求證：AB+BD=$\sqrt{3}$BE；
（2）連接AD，若BE=$\frac{13\sqrt{3}}{3}$，AD=7，求線段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，證△AME≌△DNE，根據(jù)全等得出AM=CN，證△BEM≌△BEN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BM=BN，即可求出AB+BD=2BM，即可得出答案；
（2）求出AB+BD=13，設(shè)BD=x，則AB=13-x，過D作DF⊥AB于F，解直角三角形求出BF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{x}{2}$，DF=$\sqrt{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}x}{2}$，AF=$\frac{26-3x}{2}$，根據(jù)勾股定理得出方程7²=（$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）²+（$\frac{26-3x}{2}$）²，求出方程的解即可．

解答 （1）證明：如圖1，過E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，
則∠BME=∠BNE=∠AME=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠MBE=∠NBE，EM=EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠MEN=360°-90°-90°-60°=120°，
∵∠AED=120°，
∴∠AED=∠MEN=120°，
∴∠AEM=∠DEN=120°-∠MED，
在△AME和△DNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠DNE}\\{ME=NE}\\{∠AEM=∠DEN}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△DNE（ASA），
∴AM=DN，
在△BEM和△BEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BME=∠BNE}\\{∠MBE=∠NBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△BEN（AAS），
∴BM=BN，
∴AB+BD
=BM+AM+BN-DN
=2BM，
∵∠ABC=60°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=30°，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
即AB+BD=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE=$\sqrt{3}$BE；

（2）解：∵AB+BD=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{3}$×$\frac{13\sqrt{3}}{3}$=13，
∴設(shè)BD=x，則AB=13-x，
如圖2，過D作DF⊥AB于F，
則∠DFB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠FDB=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{x}{2}$，DF=$\sqrt{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}x}{2}$，
則AF=13-x-$\frac{x}{2}$=$\frac{26-3x}{2}$，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD²=DF²+AF²，
7²=（$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）²+（$\frac{26-3x}{2}$）²，
解得：x=5或8，
當(dāng)x=8時(shí)，BD=8，AB=13-8=5＜7，此時(shí)不符合題意舍去，
即BD的長(zhǎng)是5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算和推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度偏大．