Question

已知：如圖1，把矩形紙片ABCD折疊，使得頂點A與邊DC上的動點P重合（P不與D、C重合）MN為折痕；點M、N分別在邊BC、AD上，連接AP、MA、MP；設AP與MN相交于F．
（1）請你在圖中用直尺和圓規(guī)作出線段MP的中點O．（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）與是否相等？請說明你的理由．
（3）隨著點P的運動，當PM與MA垂直時，若過O點作OH⊥AD與H，并有OH=MP；設矩形ABCD的邊AB為4，試確定P點的位置（圖2供分析參考用）

Answer 1

解：（1）如圖所示：

（2）與是不相等．
理由如下：
∵P，A關于MN對稱，
∴MN垂直平分AP，
∴cos∠FAN=，
∵∠D=90°，
∴cos∠PAD=，
∵∠FAN=∠PAD，
∴，
∵P不與D重合，P在邊DC上，
∴AD≠AP，
∴≠，
∴≠；

（3）∵AM是⊙O的切線，
∴∠AMP=90°，
∴∠CMP+∠AMB=90°，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CMP=∠BAM，
∵MN垂直平分AP，
∴MA=MP，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM≌△MCP，
∴MC=AB=4，
設PD=x，則CP=4-x，
∴BM=PC=4-x，
連接HO并延長交BC于J，
∵AD是⊙O的切線，
∴∠JHD=90°，
∴HDCJ為矩形，
∴OJ∥CP，
∴△MOJ∽△MPC，
∴OJ：CP=MO：MP=1：2，
∴OJ=（4-x），
OH=MP=4-OJ=（4+x），
∵MC²=MP²-CP²，
∴（4+x）²-（4-x）²=16，
解得：x=1，即PD=1，PC=3，
∴點P在離點C3個單位處．
分析：（1）作出線段MP的垂直平分線和MP的交點即為所求的中的O；
（2）由折疊的性質知：MN⊥AP，在Rt△AFN中，cos∠FAN=，在Rt△ADP中，cos∠PAD=，由∠FAN=∠PAD，可得：，又P與D不重合，故 ≠，可得：≠不相等；
（3）作輔助線連接HO并延長交BC于J，根據折疊的性質知：MN垂直平分AP，可得：AM=PM，AM為⊙O的切線，可得：∠AMP=∠CMP+∠AMB=90°，又∠BAM+∠AMB=90°，可得：∠CMP=∠BAM，∠B=∠C=90°，可證：△ABM≌△MCD，MC=AB，BM=CP，由AD為⊙O的切線，可得：OJ⊥AD，故：JH∥CP，△MOJ∽△MPC，設PD的長為x，則PC=AB-x，OJ=PC，OH=AB-OJ可求出⊙O的半徑，又MC=AB，故在Rt△MCP中，運用勾股定理可將PD的長求出進而確定P點的位置．
點評：此題作為壓軸題，綜合考查了切線的性質，三角形相似的判定與性質以及勾股定理等知識，綜合性很強，具有一定的難度．