Question

小麗將一個邊長為2a的正方形紙片ABCD折疊，頂點A落到CD邊上的點M的位置，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G（如圖）．在折疊過程中，小麗發(fā)現(xiàn)當點M在CD邊上的任意位置時，（點C，D除外），△CMG的周長總是相等的，那么△CMG的周長為

4a

．

Answer 1

分析：設(shè)CM=x，DE=y，則DM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性質(zhì)和折疊可以證明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以把CG，MG分別用x，y分別表示，△CMG的周長也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根據(jù)勾股定理可以得到4ax-x²=4ay，進而求出△CMG的周長．

解答：解：設(shè)CM=x，DE=y，則DM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴

CG

DM

=

CM

DE

=

MG

EM

，即

CG

2a-x

=

x

y

=

MG

2a-y

∴CG=

x(2a-x)

y

，MG=

x(2a-y)

y

△CMG的周長為CM+CG+MG=

4ax-x2

y

在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²
即（2a-x）²+y²=（2a-y）²
整理得4ax-x²=4ay，
∴CM+MG+CG=

4ax-x2

y

=

4ay

y

=4a．
所以△CMG的周長為4a．
故答案為：4a．

點評：本題考查翻折變換及正方形的性質(zhì)，正方形的有些題目有時用代數(shù)的計算證明比用幾何方法簡單，甚至幾何方法不能解決的用代數(shù)方法可以解決．本題綜合考查了相似三角形的應(yīng)用和正方形性質(zhì)的應(yīng)用．