Question

如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．

（1）求拋物線的解析式．
（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點D，求m的值及點D的坐標．
（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）

Answer 1

（1）y=x²-3x
（2）m=4 點D的坐標為（2，-2）
（3）點P的坐標為（-，-）和（，）

（1）利用待定系數法求二次函數解析式進而得出答案即可；
（2）首先求出直線OB的解析式為y=x，進而將二次函數以一次函數聯(lián)立求出交點即可；
（3）首先求出直線A′B的解析式，進而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，進而求出點P₁的坐標，再利用翻折變換的性質得出另一點的坐標．
解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．

解得：

故拋物線的解析式為：y=x²-3x；
（2）設直線OB的解析式為y=k₁x（ k₁≠0），
由點B（4，4）得
4="4" k₁，
解得k₁=1．
∴直線OB的解析式為y=x，∠AOB=45°．
∵B（4，4），
∴點B向下平移m個單位長度，
所以平移后的一次函數的解析式為：y=x-m。
又因為平移后的直線與拋物線只有一個交點D，
所以x²-3x=x-m，化簡得，x²-4x+m=0，只有一個解，Δ=0.
Δ=4²-4m=0，
故m=4．
∴平移m個單位長度的直線為y=x-4．
解方程組
解得：

∴點D的坐標為（2，-2）．
（3）∵直線OB的解析式y(tǒng)=x，且A（3，0）．
∵點A關于直線OB的對稱點A′的坐標為（0，3）．
設直線A′B的解析式為y=k₂x+3，此直線過點B（4，4）．
∴4k₂+3=4，
解得 k₂=．
∴直線A′B的解析式為y=x+3．
∵∠NBO=∠ABO，∴點N在直線A′B上，
設點N（n，n+3），又點N在拋物線y=x²-3x上，
∴n+3=n²-3n．
解得 n₁=-，n₂=4（不合題意，舍去），
∴點N的坐標為（-，）．
如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，

則 N₁（-，-），B₁（4，-4）．
∴O、D、B₁都在直線y=-x上．
過D點做DP₁∥N₁B₁，
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴P₁為O N₁的中點．
∴==，
∴點P₁的坐標為（-，-）．
將△P₁OD沿直線y=-x翻折，可得另一個滿足條件的點到x軸距離等于P₁到y(tǒng)軸距離，點到y(tǒng)軸距離等于P₁到x軸距離，
∴此點坐標為：（，）．
綜上所述，點P的坐標為（-，-）和（，）．