Question

（2011•錦州）如圖，拋物線y=ax²+bx+

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2

（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-3，0）、C（5，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BD向終點(diǎn)D作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BD交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD，交拋物線于點(diǎn)N．
①當(dāng)t為何值時(shí)，線段MN最長(zhǎng)；
②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否有某一時(shí)刻，使得以O(shè)、P、M、C為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法直接將A（-3，0）、C（5，0）兩點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx+

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2

（a≠0）就可以求出拋物線的解析式．
（2）①延長(zhǎng)NM交AC于E，根據(jù)拋物線的解析式就可以求出頂點(diǎn)坐標(biāo)B，利用條件得出三角形相似，求出MP，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)E，點(diǎn)N的坐標(biāo)，把MN的長(zhǎng)度表示出來(lái)，在轉(zhuǎn)化 為頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論了．
②根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)連接PD，只要OD=CE時(shí)，就可以求出t值了．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+

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2

與x軸交于點(diǎn)A（-3，0），C（5，0）
∴

25a+5b+ 15 2 =0 9a-3b+ 15 2 =0

解得

a=- 1 2 b=1

．
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

2

x²+x+

15

2

．

（2）①延長(zhǎng)NM交AC于E，
∵B為拋物線y=-

1

2

x²+x+

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2

的頂點(diǎn)，
∴B（1，8）．（5分）
∴BD=8，OD=1．
∵C（5，0），
∴CD=4．
∵PM⊥BD，BD⊥AC，
∴PM∥AC．
∴∠BPM=∠BDC=90°，∠BMP=∠BCD．
∴△BPM∽△BDC．
∴

BP

BD

=

PM

CD

．
根據(jù)題意可得BP=t，
∴

t

8

=

PM

4

．
∴PM=

1

2

t．
∵M(jìn)N∥BD，PM∥AC，∠BDC=90°，
∴四邊形PMED為矩形．
∴DE=PM=

1

2

t．
∴OE=OD+DE=1+

1

2

t．
∴E（1+

1

2

t，0）．
∵點(diǎn)N在拋物線上，橫坐標(biāo)為1+

1

2

t，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-

1

2

（1+

1

2

t）²+（1+

1

2

t）+

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2

．
∴NE=-

1

2

（1+

1

2

t）²+（1+

1

2

t）+

15

2

=-

1

8

t²+8．
∵PB=t，PD=ME，
∴EM=8-t．
∴MN=NE-EM=-

1

8

t²+8-（8-t）
=-

1

8

（t-4）²+2．
當(dāng)t=4時(shí)，MN_最大=2．
②存在符合條件的t值．
連接OP，如圖（2）．
若四邊形OPMC是等腰梯形，只需OD=EC．
∵OD=1，DE=PM=

1

2

t，
∴EC=5-（

1

2

t+1）．
∴5-（

1

2

t+1）=1．
解得t=6．
∴當(dāng)t=6時(shí)，四邊形OPMC是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰梯形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)．