Question

（2011•泰安）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點，連接AE、AC．
（1）點F是DC上一點，連接EF，交AC于點O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；
（2）若點F是DC的中點，連接BD，交AE與點G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．

Answer 1

（1）證明：∵點E是BC的中點，BC=2AD，
∴EC=BE=BC=AD，
又∵AD∥DC，
∴四邊形AECD為平行四邊形，
∴AE∥DC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE∽△COF；
（2）證明：連接DE，

∵DE平行且等于BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∠ABE=90°，
∴□ABED是矩形，
∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，
∴E、F分別是BC、CD的中點，
∴EF、GE是△CBD的兩條中線，
∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，
又GE=GD，
∴EF=GD=GE=DF，
∴四邊形EFDG是菱形．

解析