Question

如圖，已知△ABC，且S_△ABC=1，D、E分別是AB、AC上的動點，BD與CE相交于點P，使S_BCDE=S_△BPC，求S_△DEP的最大值．

Answer 1

【答案】分析：首先設(shè)S_△BPC=9k，S_△BPE=ak，S_△DPC=bk，S_△AED=x，然后根據(jù)各三角形面積的關(guān)系求得S_△DEP=k，又由S_△DEP=S_{四邊形EBCD}-S_△BPC-S_△EBP-S_△DPC，即可得到方程=7-a-b，再由a+b≥2，即可求得當a=b=3時，S_△DEP的值最大，則可求得答案．
解答：解：設(shè)S_△BPC=9k，S_△BPE=ak，S_△DPC=bk，S_△AED=x，
∵S_BCDE=S_△BPC，
∴S_BCDE=16k，
∵，
∴S_△DEP=k，
∵S_△DEP=S_{四邊形EBCD}-S_△BPC-S_△EBP-S_△DPC=16k-9k-ak-bk，
∴=7-a-b，
∵a+b≥2，
∴≤7-2，
∴ab+18-63≤0，
∴（+21）（-3）≤0，
∵≥0，
∴0≤≤3，
∴當a=b=3時，S_△DEP最大值為k，
又∵①，x+16k=1②，
由①②得：k=，
∴S_△DEP最大值為．
點評：此題考查了三角形的面積問題．注意等高的三角形面積的比等于其對應(yīng)底的比與a+b≥2性質(zhì)的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．