Question

14．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：BD⊥CF．BD=CF．
（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，第（1）問結論還成立嗎？并說明理由．
（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC的兩側，其它條件不變：
①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系．
②若連接正方形對角線AE、DF，交點為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設法證明△BAD≌△CAF與∠FCD=90°即可；
（2）與（1）同法；
（3）中的①與（1）相同，可證明BD=CF，又點D、B、C共線，故：CD=BC+CF；
②由（1）猜想并證明BD⊥CF，從而可知△FCD為直角三角形，再由正方形的對角線的性質判定△AOC三邊的特點，再進一步判定其形狀．

解答 （1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BD⊥CF；
（2）（1）的結論仍然成立，理由：
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，
∠CAF=∠DAF+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
 在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°
∴BD⊥CF．
（3）①BC、CD與CF的關系：CD=BC+CF
理由：與（1）同法可證△BAD≌△CAF，從而可得：
  BD=CF，
 即：CD=BC+CF
 ②△AOC是等腰三角形
 理由：與（1）同法可證△BAD≌△CAF，可得：∠DBA=∠FCA，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
  則∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠ABD=∠FCA=135°
∴∠DCF=135°-45°=90°
∴△FCD為直角三角形．
 又∵四邊形ADEF是正方形，對角線AE與DF相交于點O，
∴OC=$\frac{1}{2}$DF，
∴OC=OA
∴△AOC是等腰三角形．

點評 本題考查了等腰三角形、正方形的性質及全等三角形的判定與性質等知識點，一般情況下，要證明兩條線段相等，就得證明這兩條線段所在的兩個三角形全等，關鍵是掌握圖形特點挖掘題目所隱含的條件．