Question

27、我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱正方形、長方形、直角梯形（任選兩個均可）；
（2）如圖1，已知格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你畫出以格點為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；
（3）如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到△DBE，連接AD，DC，∠DCB=30度．求證：DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析：（1）只要四邊形中有一個角是直角，根據勾股定理就有兩直角邊平方的和等于斜邊的平方，即此四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，由此可知，正方形、長方形、直角梯形都是勾股四邊形．
（2）OM=AB知以格點為頂點的M共兩個：M（3，4）或M（4，3）．
（3）欲證明DC²+BC²=AC²，只需證明∠DCE=90度．

解答：解：（1）正方形、長方形、直角梯形．（任選兩個均可）（2分）（填正確一個得1分）

（2）答案如圖所示．M（3，4）或M（4，3）．（沒有寫出不扣分）

（2分）（根據圖形給分，一個圖形正確得1分）

（3）證明：連接EC，
∵△ABC≌△DBE，（5分）
∴AC=DE，BC=BE，（6分）
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC，∠BCE=60°，（7分）
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，（8分）
∴DC²+BC²=AC²．
即四邊形ABCD是勾股四邊形．（10分）

點評：本題考查勾股定理，及考查旋轉的性質：旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．