Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，E是BC的中點．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）過點E作EF⊥DE，交AB于點F．若AC=3，BC=4，求DF的長．

Answer 1

（1）證明：連結OD，CD，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=180°-∠ADC=90°，
∵E是BC的中點，
∴，
∴∠1=∠2．
∵OC=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠ACB=∠ODE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是半徑，
∴DE是⊙O的切線． 

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴，
∵E是BC的中點，
∴，
∴∠5=∠B，
∴，
∴．
分析：（1）連結OD，CD，求出DE=CE=BE，推出∠1+∠3=∠2+∠4，求出∠ACB=∠ODE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）根據(jù)勾股定理求出AB=5，解直角三角形得出，求出DE，推出∠EDF=∠B，解直角三角形求出即可．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，解直角三角形，切線的判定的應用，注意：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．